Dienes의 수학 학습 원리

 딘즈는 자신의 학습 이론을 구현하기 위한 효과적인 학습 원리를 4가지로 제시하고 있는데 이는 다음과 같다.

(1) 역동적 원리

 수학적 개념 형성을 위하여, 목표가 불분명하며 그 자체로 즐기는 예비 놀이 단계, 좀 더 방향이 정해지고 목적을 지향하지만 추구하고 있는 것에 대한 명확한 인식은 없는 구조화된 놀이단계, 형성된 개념을 고정시키고 적용하기 위한 실습 놀이 단계의 각각을 순차적으로 적절한 시기에 필수적인 경험으로서 제공하여야 한다는 것이다. 이러한 3단계 놀이는 상대적인 것으로 한 개념에 대한 실습 놀이가 이후의 개념을 위한 예비 놀이가 될 수도 있다. 아동이 어릴 때는 구체적인 도구를 가지고 놀이를 해야 하지만, 순차적으로 정신적인 게임을 도입함으로써 모든 게임 중에 가장 흥미 있는 게임인 수학의 맛을 보게 할 수 있을 것이다.

(2) 구성의 원리

 아동은 분석적 사고를 하기 훨씬 이전에 구성적 사고를 발달시키므로, 아동에게 제시하는 수학적 상황은 분석보다는 구성을 요구하는 것이 우선되어야 한다는 것이다. 아동은 논리적 판단을 할 준비가 되어 있지 않더라도 많은 수학적 개념을 훨씬 쉽게 잘 구성할 수 있으며, 구성한 것에 대한 논리적 탐구는 자연스럽게 몇 년 후에 나타나게 된다.

(3) 수학적 다양성의 원리

 수학적 개념은 보통 몇 개의 변인을 포함하고, 개념을 구성하는 변인은 변화하지만 이 변인들 사이의 항구적인 관계가 수학적 개념이다. 개념의 성장을 돕기 위해 구조화 된 경험을 제공하려면, 개념은 변하지 않게 유지하면서 가능한 한 많은 변인을 변화시켜야 한다는 것이다. 예를 들어, 평행사변형의 개념 학습을 위한 예를 제공한다면, 대변이 평행이 되도록 유지하면서 각의 크기나 대변의 길이, 위치 등을 변화시킴으로써 모양을 변화시키는 것을 말한다.

(4) 지각적 다양성의 원리

 동일한 개념을 형성하는 데 존재하는 가능한 모든 개인차를 고려하는 방법으로서, 동일한 개념적 주제에 대한 다양한 수단을 사용하여 가능한 한 많은 변화를 주자는 것이다. 즉, 다르게 보이지만 근본적으로 동일한 개념 구조를 가지는 과제를 제공하자는 것으로 지각적 표현을 변화시키는 것이 여기에 해당한다. 예를 들어, 평행사변형을 종이위에 그릴 수도 있고, 두 개의 합동인 나무로 된 삼각형으로 만들 수도 있고, 점판 위에 표시할 수도 있고, 벽지의 패턴에서도 찾을 수 있다. 

(1)과 (2)의 원리는 '놀이'로서의 수학학습의 기반이 되는 것으로 아동의 다이내믹한 활동을 통해서 아동 스스로 수학적 개념을 점차적으로 구성해 나아가도록 한다는 것이다. 이러한 생각은 아동 자신의 활동에 의한 수학의 심리적 구성의 구조를 논한 피아제 이론에 그 근거를 두고 있음이 명백하다. (3)와 (4)의 원리는 수학적 개념의 지도에 있어서 비본질적인 것을 될 수 있는 한 다양하게 변화시킴으로써 불변성으로서의 수학적 개념을 보다 명확하고 유연하게 구성시키고자 하는 것으로 수학적 개념의 일반화와 추상화를 위한 전략이라고 말할 수 있는 것이다. 이들 원리가 (1)와 (2)의 원리, 즉 아동 자신의 구성적 활동을 전제로 하고 있음은 명백하다.

 이러한 원리를 바탕으로 직육면체 개념에 대한 학습을 예로 살펴보면 다음과 같다. 첫째로, 역동적 원리에 의하여 아동들에게는 직육면체 모양의 다양한 구체 물을 이용하여 3단계의 놀이 경험을 제공할 필요가 있다. 둘째로, 구성의 원리에 의하여 직육면체를 두고 성질을 분석하게 하는 활동보다는 쌓기 나무나 마분지에 그린 전개도 등을 이용하여 직육면체를 구성해보는 경험을 먼저 제공할 필요가 있다. 셋째로, 수학적 다양성의 원리에 의하여 직육면체를 이루는 변인 중에서 변화시킬 수 있는 것, 즉 밑면이 정사각형인 경우와 정사각형이 아닌 경우, 가로의 길이보다 높이가 큰 경우와 작은 경우의 직육면체 등 수학적으로 다양한 모양의 직육면체를 제공할 필요가 있다. 넷째로, 지각적 다양성 원리에 의하여 쌓기 나무로 만든 직육면체, 플라스틱 빨대를 연결하여 구성한 직육면체, 종이를 이용하여 만든 직육면체 등 지각적으로 다양한 소재를 이용하여 구성된 직육면체를 제시할 필요가 있다. 그러나 이러한 딘즈의 개념 학습 원리에는 피아제가 반영적 추상화의 과정에 포함한 반성의 과정이 포함되었다고 말하기가 어려우며, 아동의 활동의 조정으로부터의 추상화라기보다는 놀이 대상이 갖는 성질의 추상화를 말하고 있다는 점에서 피아제의 용어로는 경험적 추상화의 수준에 머물러 있다고 할 수 있다.