스켐프의 수학 학습 이론

스켐프는 영국 옥스퍼드 대학에서 수학과 심리학을 공부하였으며, 수학교사로 출발하여 수학 학습 심리학을 연구한 위대한 수학교육자이다. 스켐프는 학생들이 수학을 어려워하고 싫어하는 이유에 대하여 관심을 갖고 연구를 하였다. 스켐프의 수학 학습 지도 이론의 핵심은 스키마틱 학습과 반영적 지능이다. 스켐프는 피아제의 지능이론을 학습심리학적 입장에서 해석하고, ‘schematic learning’이론을 제시하였다. 스켐프는 아동이 수학학습에서 곤란을 받는 이유를 피아제 심리학의 관점에서 분석하여, 그것이 수학 자체가 갖고 있는 특성과 관련되어 있다고 결론짓고 있으며, 수학적 개념의 본질적 문제, 여러 가지 수학적 개념이 아동의 역동적인 지식의 구조를 형성하도록 하기 위해서는 어떻게 연결되어야 하는 문제, 수학은 실험이나 물리적 증명에 의해서는 뒷받침될 수 없으며 그런 것과는 다른 순수한 사고의 산물이라고 하는 사실을 수학교육에서 고려해야 할 근본문제라고 보고 있다.

1) 개념학습

개념을 한마디로 정의하기는 어렵지만 스켐프에게 개념을 형성하는 대표적인 조작은 ‘추상화’와 ‘분류’이다. ‘추상화’는 유사성을 인식하는 활동이고 ‘분류’는 이 같은 유사성에 기초하여 경험들을 모으는 활동을 뜻한다. 스켐프는 활동으로서의 추상화와 마지막 결과로서의 추상을 구별하여 후자인 추상을 ‘개념’이라고 부른다. 스켐프는 개념 형성을 일상생활에서의 경험과 다루고자 하는 사물에서 공통점을 추상화하고 분류하는 정신적 작용으로 받아들였다. 이러한 스켐프의 견해는 개념을 추상화의 결과라기보다는 환경에 스스로 적응시키는 유기체에 의해 형성되는 구성의 결과라고 본 듀이의 견해와 대조를 이룬다. 스켐프는 개념 학습의 두 가지 원리를 제시하고 있는데, 첫째는 사람들이 이미 가진 개념보다 더 높은 차원의 개념은 정의에 의하여 의사소통 할 수 없으며, 그들이 경험한 적절한 예들을 함께 모음으로써만 가능하다는 것이다. 둘째는 이와 같은 예는 대부분 다른 개념이므로 학습자의 마음속에 이러한 개념이 형성되어 있는지 먼저 확실히 해야 한다는 것이다. 스켐프는 수학 학습과 관련지어 생각할 때 둘째 원리는 두 가지를 시사해 준다고 보고 있다. 하나는 연속적으로 추상되는 구조를 만들어 가는 과정에서 어떤 특정 단계를 이해하지 못했다면, 그 이후의 추상화 과정은 위태롭게 된다는 것이며, 다른 하나는 추상의 새로운 단계에서는 매번 모든 선행 개념이 사용 가능한 상태이어야 한다는 것이다. 스켐프가 말하는 스키마는 이러한 여러 개념의 관계와 밀접한 관련이 있다. 예컨대, ‘좋은’과 ‘나쁜’, ‘더운’과 ‘추운’, ‘높은’과 ‘낮은’은 같은 관계를 가지고 있으며, 다른 예로는 ‘좋은’과 ‘더 좋은’, ‘더운’과 ‘더 더운’, ‘높은’과 ‘더 높은’은 다른 관계를 가지고 있다. 이러한 관계를 스켐프 개념 구조, 곧 ‘스키마’라고 부른다. 이러한 스키마의 기능은 각각의 개념의 성질을 분리하는 것뿐 아니라 기존의 지식을 통합하는 것과 새로운 학습을 위한 도구가 되어 이해를 가능하게 한다는 것이다.

*스키마의 통합적 기능

어떤 대상을 개념의 예로 인식할 때, 그 대상은 개념 그 자체와 분류된 유목의 원소라는 두 가지 수준으로 지각된다. 예컨대, 어떤 승용차 한 대를 본다면 자동적으로 자가용이라는 유목의 한 원소로 인식한다. 이 유목 개념은 다른 수많은 개념과 함께 정신적 스키마와 연결되어 승용차가 일부분이 되는 여러 가지 다른 상황에서 적절히 행동하도록 도와준다. 승용차를 구입한다면 차량 성능, 연비 등 승용차와 관련된 모든 경험에 비추어 판단하게 된다. 이러한 스키마를 많이 가지고 있을수록 예측하지 못한 돌발 사태에 보다 적절하게 대처할 수 있다.

*스키마의 도구로서의 기능

앞에서 말한 개념 학습의 두 번째 원리의 일반화로서 우리가 학습하는 대부분의 경우 이미 알고 있는 것에 의존한다는 것이다. 스켐프는 이러한 자신의 생각을 검증하기 위하여 스키마식 학습과 암기식 학습을 비교하는 실험을 진행하였다. 스키마식 학습을 했던 실험 집단에서는 복잡한 기호를 서로 관련지어 차례로 도입하여 암기하게 함으로써 적절한 스키마를 형성하게 하였고, 암기식 학습을 했던 비교 집단에서는 같은 기호를 다른 의미로 배우게 하여 서로 다른 스키마를 형성하게 하였다. 이러한 비교 실험 후 학습 결과를 측정하였을 때 실험 직후의 결과는 스키마식 학습이 2배의 효과가 있었고, 4주 후에는 7배의 차이가 났다. 이로부터 스켐프는 스키마식으로 학습하는 것은 더욱 효과적인 학습이 이루어질 뿐만 아니라 그 분야의 장래 학습 과제에 필요한 적응력 있는 정신적 도구를 준비해 주는 것으로 본다. 더욱이 이러한 도구를 계속적으로 사용함으로써 스키마의 처음 내용을 더욱 공고히 해 주는 것으로 본다. 그러나 단점으로써 독립된 과제의 학습에서는 스키마식 학습이 더 오랜 시간이 걸린다는 점과, 스키마에 맞지 않는 것은 학습하기 어렵게 함으로써 영향력이 너무 크다는 점을 들고 있다. 예를 들어, 자연수 체계를 이해한 다음 한 자리 수의 덧셈을 학습하고 자릿값을 이해하여 두 자리 수의 덧셈, 세 자리 수의 덧셈, 그리고 덧셈으로부터 곱셈까지 확장하는 것은 스키마식 학습의 장점을 보여주는 예이다. 그러나 이러한 자연수의 곱셈에 대한 스키마는 동수누가로 설명하기 힘든 분수의 곱셈을 이해하는 데에는 도움이 되지 못하며 학생은 분수의 곱셈에 대한 새로운 스키마를 형성해야 한다는 점에서 학습을 어렵게 할 수 있다.