수학적 개념의 이해

(1) 관계적 이해와 도구적 이해

스켐프는 이해를 관계적 이해와 도구적 이해의 두 가지로 구분하고 있다. 관계적 이해는 무엇을 해야 할지 그리고 왜 그런 지를 모두 알고 있으면서 일반적인 수학적인 관계로부터 특수한 규칙이나 절차를 연역할 수 있는 상태를 말하고, 도구적 이해는 이유는 모르는 채 암기한 규칙을 문제해결에 적용하는 것을 말한다.

1. 관계적 이해

더욱 높은 수준의 학습은 조절에 의하여 이루어진다. 조절이 적절히 이루어지지 못하면 의미 없는 기계적 학습이 되고 만다. 따라서 새로운 개념을 지도하고자 할 때는 동화와 조절이 잘 이루어지도록 기존의 스키마를 잘 활용하여야 하며, 필요하면 조절을 위한 선수적인 스키마를 먼저 형성하여야 한다. 이와 같이 동화나 조절에 의하여 새로운 개념을 이해하는 것을 관계적 이해라고 하고 그렇지 못한 것을 도구적 이해 또는 기계적 이해라고 한다.

2. 도구적 이해

도구적 이해란 수학적 원리나 법칙을 암기하여 이를 적용할 수 있는 능력을 말한다. 도구적 이해로 수학을 학습할 경우, 학습할 내용이 많지 않고 수학적 개념의 활용에만 학습의 목적을 둘 경우는 어느 정도 학습의 목표를 달성할 수 있다. 그러나 학습의 양이 많아지고 복잡한 문제나 창의적인 방법을 필요로 하는 문제를 다루기 위해서는 도구적 학습으로는 높은 성과를 올릴 수 없다. 수학을 어려워하고 싫어하는 대부분의 학생들은 수학을 도구적 이해로 학습하기 때문임을 스켐프가 연구하였다.

3. 관계적 이해와 도구적 이해에 관한 예

예, 1)학생들에게 한붓그리기가 가능한 그래프에 대하여 지도하고 있다. 한 집단에는 한붓그리기에 관한 성질 “홀수점이 없거나 두 개인 그래프는 한붓그리기를 할 수 있다.”만 가르쳐 주었고 다른 집단에는 그 성질에 대한 원리를 설명하여 이해시켰다. 그리고는 여러 가지 그래프를 제시하고 한붓그리기가 가능한 도형과 불가능한 도형을 식별하게 하였다. 그 결과는 두 집단 모두 비슷한 성취도를 보였다. 다음에는 좀 더 발전된 문제로서 복잡한 그래프를 주고 한붓그리기를 하였을 때 시작점과 끝나는 점이 같은 그래프를 찾게 하였다. 그 결과는 관계적 이해를 한 학생들이 도구적 이해를 한 학생들보다 거의 두 배 이상의 높은 성취 율을 보였다.

예, 2) 교사가 직사각형의 넓이는 S=LH로 구해진다고 학생들에게 환기시켰다고 가정하자. 처음 이 내용을 설명할 때 없었던 학생이 자기는 이해하지 못한다고 말했다. 그래서 교사는 그에게 다음과 같이 설명했다. ‘공식을 보면 직사각형의 넓이는 길이와 폭을 곱하여 구한단다.’ 학생은 ‘알겠다.’고 대답하고 연습 문제를 풀어 나갔다. 만일 우리가 이 학생에게 ‘너는 이해한다고 생각하겠지만, 정말로 이해하는 것이 아니야.’라고 말한다면, 동의하지 않을 것이다. 그리고 이 학생은 자신의 성취를 대수롭지 않게 보는 것에 대해서 불쾌해 할 것이다. 이 학생이 생각하는 ‘이해’라는 의미에서는 이 학생은 정말로 이해한 것이다.

4. 관계적 이해의 장점과 단점

a. 관계적 이해의 장점

첫째, 관계적으로 이해된 수학은 새로운 과제에 더 잘 적응된다. 예를 들어, 분모가 다른 분수의 대소 비교를 관계적으로 이해한 학생은 도구적으로 이해한 학생보다 분모가 다른 분수의 덧셈을 더욱 쉽게 학습하게 될 것이다.

둘째, 관계적으로 이해된 수학은 기억하기에 더 쉽다. 앞의 예에서 분모가 다른 분수의 대소 비교 하나만을 본다면 도구적 이해가 기억이 더 쉬울 수도 있을 것이다. 하지만, 분모가 다른 분수에 대한 덧셈, 뺄셈 등을 종합적으로 생각한다면 관계적 이해를 통하여 학습했을 때 더 잘 기억된다는 것이며, 이와 함께 기억의 지속력이 더 강하다는 것이다.

셋째, 관계적으로 이해된 지식은 그 자체가 효과적인 목적이 될 수 있다. 이는 도구적 이해를 지도하는 과정에서 유발될 수 있는 외적인 보상과 벌에 대한 요구가 크게 줄어들고 동기 부여가 더욱 쉬워진다는 것이다.

넷째, 관계적 스키마는 질적으로 유기적이다. 관계적 스키마는 그 자체가 성장하는 하나의 요인으로 작용한다는 것으로, 사람들이 관계적 이해를 통하여 만족감을 얻게 되면 자기 앞에 놓인 새로운 자료를 관계적으로 이해하려고 노력할 뿐만 아니라 능동적으로 새로운 자료를 찾고 새로운 분야를 탐구하게 된다는 것이다.

b. 관계적 이해의 단점

첫째, 부분적으로는 관계적으로 이해시키는데 시간이 너무 많이 걸리며, 학생들이 필요로 하는 모든 것은 특정한 기술을 사용하는 것처럼 생각된다.

둘째, 학생들은 특정 주제를 배우기 위한 기초적 학습이 전혀 되어 있지 않다.

셋째, 관계적으로 이해하도록 가르치기 위해선 고도의 능력 있는 교사를 필요로 한다.

5. 도구적 이해의 장점과 단점

a. 도구적 이해의 장점

첫째, 내용 그 자체에서 도구적 수학은 이해하기 쉽다. 예를 들어 음수의 곱셈이나 분수로 나누는 것과 같은 주제는 관계적으로 이해하기가 어렵고 이해를 하도록 하는데도 시간이 오래 걸린다. 하지만 ‘음수 곱하기 음수는 양수’이고 ‘어떤 분수로 나누려면 그 분수의 분자와 분모를 바꾸어서 곱하라’는 쉽게 기억할 수 있는 공식이다. 이 공식만으로 원하는 답을 빠르고 쉽게 해결해 줄 수 있다. 원하는 답을 얻는 것이 목적이라면 시간과 노력면에서 도구적 방법이 경제적이라고 하지만 반드시 그렇지는 않을 것이다.

둘 째, 도구적 방법으로 배우는 수학은 문제에 대한 답을 보다 빠르고 쉽게 해결해 주기 때문에 그 보상은 더욱 즉각적이고 더욱 명백하다. 정답을 얻는 것을 통해 학생은 성취감을 느끼고 자신감을 쌓을 수 있다. 만일 위의 공식의 원리를 알아야만 한다면 대부분의 학생은 포기하고 말 것이다. 이런 이유로 학습 부진아들의 수학적 자신감을 회복시키는 데는 관계적 수학보다는 도구적 수학이 유용하다.

셋째, 관계적 수학은 많은 내용의 전후 관계를 알면서 이해해야 하므로 필요한 지식을 많이 요구하는 반면 도구적 수학은 상대적으로 이해하는데 필요한 지식이 적음으로 어떤 문제의 정답을 보다 빠르고 정확하게 얻을 수 있다.

b. 도구적 이해의 단점

첫째, 학습할 양이 많아지면 그 많은 공식을 암기하기가 힘들다. 모두가 특정한 과제를 수행하는 방법만 배운다면 암기해야 할 내용이 점점 많아지고, 결국에는 이 일을 감당하지 못하게 되는 수가 있다.

둘째, 쉽게 잊어버릴 수 있다. 그리고 학교에서 많은 시간을 투자하여 그것들을 배운다. 공식을 익혀서 문제에 적용하는 것은 어느 정도는 되지만 많아지면 많아질수록 그것들을 기억하는 것은 불가능한 일인지 모른다. 도구적 학습은 문제의 정확한 답을 구할 수는 있으나 어떤 스키마를 내부에 조성해 놓지 않은 상황에서는 그 문제의 필요한 공식은 언젠가 잊어버리게 된다. 특히 자주 쓰이는 공식은 잊어버리지 않으나 가끔 한 번씩 쓰이는 공식은 쉽게 잊어버릴 수 있다.

셋째, 수학적 스키마를 확장하기가 어렵다. 도구적 학습은 정확한 이해를 바탕으로 한 것이 아니기에 특정 공식을 유도해 낸다든가 하는 질적, 유기적으로 성장하는 면은 없게 된다. 이것은 아마도 수학을 배우는데 있어 도구적 이해의 가장 큰 단점이 될지 모른다.

넷째, 수학에 대한 내적 동기유발이 되지 않는다. 문제를 풀고 정답을 맞히면서 흥미를 느끼는 것은 사실이나 이것은 거의 외적 동기유발이기에 스스로 수학에 대해 흥미를 느끼고 멋있는 학문이라는 사실을 느끼지 못할 수 있다. 그리고 이 도구적 이해에서는 내적 동기유발을 만들지 못하기 때문에 수학이 좀 더 복잡해지고 어려워진다면 흥미를 잃게 되어 수학을 싫어하는 과목으로 만들 것이다.

6. 관계적 학습을 도구적 학습으로 대체하는 경우

첫째는 학습목표를 달성하는 데 너무 많은 시간이 소요된다면 도구적 학습으로 이를 바꿀 수 있다. 이를 테면, 고등학교에서 한 점에서 도함수개념을 학습할 때 관계적 이해를 중시하는 것보다 교실 환경 상 도구적 이해를 강조하는 경우가 있다.

둘째는 문제해결에 특정한 기능을 이용한 능력을 필요로 하거나, 꼭 학습해야할 내용인데 인지발달수준 또는 보조개념 형성시기가 늦어질 때 관계적 이해는 너무 까다롭고 복잡한 경우가 있다.

셋째는 과학 또는 다른 학과에서 수학적 지식을 이용하여 필요한 개념학습과 문제해결을 하는 경우가 있다.